約30年以上を経過した路地植えのドラセナで、8本が枝わかれています。各枝の中心部に新しく伸びる新芽が出ていますが、枝のほぼ全ての新芽が茶色に枯れて引っ張るとスポッと抜けてしまいます。病気なのか害虫によるものか分かりませんが、とりあえず殺虫剤を噴霧して様子を見ています。現在はまだ元気です。枯らさずに元気になってね欲しいと思っていますが、何か良いアドバイスがあればご指導をいただければ幸いです。よろしくお願いします。

露地植えにされていることなので、寒さに強いニオイシュロラン（コルディリネ・アウストラリス）ではないかと想像します。
＊沖縄などの亜熱帯気候地域では本当のドラセナも露地植えで育ちますが、それ以外の地域で露地植えされる「ドラセナ」はニオイシュロランのことだと思います。

> とりあえず殺虫剤を噴霧して様子を見ています。
原因が特定できない段階での薬剤の使用はやめた方がいいと思います。
症状から判断する限り、害虫ではなく病気ではないでしょうか。
枯れた部分は新芽だけで、茎はしっかりしていますか？

コルディリネやドラセナには、糸状菌を原因とするいくつかの病気が知られています（ドラセナ疫病や炭疽病など）。
ホームセンターなどで詳しい症状を話して相談し、殺菌剤をお求めになってみてはいかがでしょうか。

ご指導ありがとうございます。８本の枝のうち１本は元気がありませんが他はまだ元気です。よく考えてみると、枝がスポッと抜けた部分をよくみると、湿気があり白いカビ様のものが見受けられましたので、ご指導の通り菌によるものと思います。早速殺菌剤で消毒してみます。ありがとうございます。